칸 아카데미로 딥러닝을 위한 수학 공부하기 | Vector dot and cross products (1)

칸 아카데미 선형대수 강의는 138개 정도. 대부분의 동영상은 20분 내외다. 일주일에 2-3시간 정도 투자해서 매주 강의 8개씩 들으면 17-19주만에 다 들을 수 있다. 

 

 

 

Linear Algebra > Vectors and Spaces > Vector dot and cross products 부분을 정리한 것.

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces#dot-cross-products

Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy

 

벡터의 곱셈

1) 내적 dot product

2) 외적 cross product 

 

	내적	외적
정의된 차원	모든 차원	3차원만
결과값	스칼라(상수)	벡터
각도와 관계 (* 영벡터 제외)	a ⋅ b=‖a‖‖b‖cos θ	‖a×b‖=‖a‖‖b‖sin θ

 

벡터의 길이

‖a‖ = √a1^2 + a2^2+...+an^2 

‖a‖^2 = a1^2 + a2^2+...+an^2 = a ⋅ a

 

벡터 내적의 속성

1) 교환법칙 성립

2) 분배법칙 성립

3) 결합법칙 성립 

 

코시-슈바르츠 부등식 Cauchy-Schwarz Inequality 

x,y가 영벡터가 아니고 R^n의 원소일 때,

| x ⋅ y | ≤ ‖x‖‖y‖ 

* 등호성립조건 : 두 벡터가 동일선상에 있는 경우. 즉, 한 벡터가 다른 벡터의 실수배 ( x = c * y )

 

삼각부등식 Vector Triangle Inequality 

x,y가 영벡터가 아니고 R^n의 원소일 때,

‖x + y‖≤ ‖x‖+ ‖y‖

* 등호성립조건 :   x = c * y 이고, c > 0인 경우 

 

수직

벡터 a,b가 수직이면 a ⋅ b = 0 이다. 

a ⋅ b = 0 이고 벡터 a,b 모두 영벡터 아니면 벡터 a,b는 수직이다. 

 

직교

a ⋅ b = 0 이면 벡터 a,b는 직교(orthogonal)한다. 

1) 모든 수직인 벡터는 직교한다

2) 영벡터는 모든 벡터에 대해 직교한다 

 

법선벡터 : 면의 모든 벡터에 대해 직각을 이루는 벡터

 

법선벡터를 이용해 면의 방정식 세우기 

법선벡터 n = [ n1, n2, n3]

원점에서 시작해 면 위의 한 점을 향하는 벡터 x0  = [ x0, y0, z0 ]

원점에서 시작해 면 위의 한 점을 향하는 임의의 벡터 x = [ x, y, z ]

그러면 x - x0 는 면 위의 벡터 

따라서 x - x0는 n과 수직 

∴ n ⋅ ( x - x0 ) = 0

→ n1 ( x - x0 ) + n2 ( y - y0 ) + n3 ( z - z0 ) = 0  < 면의 방정식 > 

 

 

 

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대체 사인, 코사인은 왜 나오나 싶었는데 Vector Semantics에서 활용된다.

코사인 값은 두 단어의 의미 유사성을 계산하는데 활용된다.

 

자세한 설명은 여기서

Vector Semantics