칸 아카데미로 딥러닝을 위한 수학 공부하기 | Vector dot and cross products (2)

Linear Algebra > Vectors and Spaces > Vector dot and cross products 부분을 정리한 것.

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces#dot-cross-products

Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy

 

a ⋅ b  = ‖a‖‖b‖cos θ  = ‖b‖ * (이웃하는 변) = (벡터 b의 길이) * (벡터 b와 같은 방향으로 나아가는 벡터 a의 크기)

 

∴ 두 벡터가 같은 방향을 향할수록 내적값이 커짐 

 

내적값의 최소 : 두 벡터가 수직일 때 (∵ cos90 = 0)

내적값의 최대 : 두 벡터가 동일선상에 있을 때 (∵ cos0 = 1)

 

‖a×b‖=‖a‖‖b‖sin θ =  ‖b‖ * (반대편의 변) = (벡터 b의 길이) * (벡터 b에 수직인 벡터 a의 크기)

 

∴ 두 벡터가 수직일수록 외적값이 커짐 

 

외적값의 최소 : 두 벡터가 동일선상에 있을 때 (∵ sin0 = 0)

외적값의 최대 : 두 벡터가 수직일 때 (∵ sin90 = 1)

 

내적(dot product) = 같은 방향을 향하는 벡터 길이의 곱

외적(cross product) = 수직인 벡터 길이의 곱, 또는 평행사변형의 넓이

 

면의 방정식이 Ax + By + Cz = D 일 때, 이 면의 법선벡터는 n = Ai + Bj + Ck ( i, j, k는 단위벡터)

 

면 밖의 점과 면 사이의 거리 

면의 방정식이 Ax + By + Cz = D 이고, 면 밖의 점이 (x0, y0, z0) 일 때,

거리 d = Ax0 + By0 + Cz0 / √A^2 + B^2 + C^2 

 

면과 면 사이의 거리 

1) 두 면의 방정식을 구한다 

- 면 위 3개의 점을 구한다

- 면 위 2개의 점에 대한 위치벡터의 차를 구하면 면 위에 있는 벡터를 구할 수 있다

- 면 위 2개의 벡터를 알면 이 둘을 외적하여 법선벡터를 구할 수 있다 

- 면 위 임의의 점 (x,y,z)과 면 위의 다른 점에 대한 위치벡터의 차를 구하여 면 위에 있는 임의의 벡터를 구한다 

- 면 위 임의의 벡터과 법선벡터를 내적하면 0이 되어야 한다. 이 식을 통해 면의 방정식을 구할 수 있다

 

2) 면과 면 사이의 거리가 0이 아니면 두 면은 평행하다 (평행하지 않은 두 면은 언젠간 만나서 거리가 0이 되기 때문)

- 평행한 두 면의 방정식은 x항, y항, z항 계수의 비율이 동일하다 

 

3) 두 평면의 거리 = 한 평면 위의 점과 다른 평면까지의 거리 

- 거리 d = Ax0 + By0 + Cz0 / √A^2 + B^2 + C^2