11. 모평균에 관한 추론 I

SNUON 통계학

 

Inference for Numerical Data

1. 일 표본평균과 t-분포

2. Paired data에 관한 추론

3. 두 표본평균의 차이에 관한 추론

4. Power Analysis

5. ANOVA 

 

11-1. 단일표본 평균과  t-분포 

 

통계적 추정의 과정

1) 가설검정

2) 점 추정치, 구간 추정치(신뢰구간)

 

 

13일의 금요일은 정말 불길한 날짜인가?

- 이 연구의 목적은 사람들의 행동방식이 13일의 금요일과 그 전주인 6일의 금요일이 차이가 있는지 알고자 하는데 있다

- 이 두 날짜의 교통량을 비교하는 것으로 사람들의 행동양식을 비교하고자 했다

- 질문 : 연구자들은 왜 이러한 비교방식을 선택했을까?

 

1) 가설검정

- H0 : 13일 금요일과 6일 금요일의 평균 교통량은 같다

- HA : 13일 금요일과 6일 금요일의 평균 교통량은 다르다

 

각각의 경우 교통량은 같은 해 같은 달 같은 장소에서 일주일 간격으로 측정하였다

이 경우 교통량들은 서로 독립인가?

 

- 일주일 간격의 교통량은 서로 독립이 아니므로 교통량의 차이가 0인지 여부를 확인하고자 한다

- 이 경우 교통량의 차이들간은 서로 독립이라고 할 수 있다 

 

교통량 차이의 히스토그램은 다음과 같다. Skewed 분포라고 보기는 어렵지만, 표본 숫자가 너무 작기 때문에 중심극한정리를 적용하긴 힘들다

 

 

표본평균이 정규분포를 따르지 않는 경우도 있다 ∵ 표본 크기가 작아서

 

t-distribution

- 모집단의 표준편차가 알려져 있지 않은 경우 표본 표준편차로 모집단의 표준편차를 추정한다. 이때 추가로 생기는 불확실성을 포함하기 위해 새로운 분포가 필요하다

- 이 새로운 분포를 t-분포라고 한다. 정규분포와 비슷하게 bell-shape을 가지고 있지만 꼬리부분이 훨씬 두텁다 (정규분포보다 extreme한 값이 나올 확률이 높다)

 

자유도가 클수록 정규분포와 유사해짐

 

- 0을 중심으로 대칭적인 분포를 띤다

- 자유도(degree of freedom)이라는 하나의 모수는 가진다

cf. 정규분포는 2개의 모수(평균, 분산)를 가짐 

- 자유도 작을수록 꼬리 부분이 두텁다 

 

* 코시분포 Cauchy distribution

- t-분포이면서 자유도가 1인 분포 

- 분산이 존재하지 않음 

 

검정통계량 

- 자유도가 n-1인 T-test statistic은 다음과 같이 정의된다

 

- point estimate : 내가 알고자 하는 모수의 추정값 (ex. 표본평균)

- null value : 귀무가설 하에서 모수 (ex. 13일 금요일 연구에선 0 ∵ 6일과 13일 교통량 차이 없다는 것이 귀무가설이니까)

- SE(=standard error) : 표준오차, 추정량(표본)의 표준편차

 

 

13일의 금요일  교통량 차이에 대한 가설 검정의 경우

 

 

검정통계량과 p-value

- 이 경우 자유도는 n-1 = 10-1 = 9이다

- R을 이용한 계산

 

 

0에 대해 대칭이므로 pt(4.94, df=9, lower.tail=F) 와 pt(-4.94, df=9, lower.tail=T) 의 값은 같다. 

lower.tail = T 이면 4.94 보다 작을 확률, lower.tail = F 이면 4.94보다 클 확률을 구해줌

귀무가설이 양측검정이기 때문에 2를 곱해줌

귀무가설이 교통량의 차이가 '다르다' 이므로 표본보다 실제 교통량이 클 경우 + 작을 경우 모두 구함

 

→ p-value가 매우 작기 때문에 귀무가설을 기각할 수 있다 

 

13일의 금요일은 정말 불길한 날짜인가?

- p-value가 0.05보다 작기 때문에 교통량의 차이가 있다고 결론을 내릴 수 있다

- 실제로 차이가 어느 정도인지 알기 위해서 신뢰구간을 구해보자 

 

2) 구간 추정치(신뢰구간)

 

신뢰구간

t-분포를 이용한 신뢰구간 공식은 다음과 같다 

 

여기서 t*는 critical value이다. 

 

자유도에 따라 t* 값이 다름

 

- R을 사용해 t*를 계산하면 t* = 2.26 

- 따라서 모평균에 대한 95% 신뢰구간은 1836 ± 2.26 * 372 → (995, 2677)

- 그 전주 금요일과 비교했을 때,  13일의 금요일에 평균적으로 995-2677개의 차량이 덜 운행한다고 95% 확신한다

 

- 신뢰구간에 0이 포함되어 있지 않으므로 가설검정과 신뢰구간이 같은 결론을 내리고 있다 

1) 가설검정의 결과 : 교통량에 차이가 있다

2) 신뢰구간의 결과 : 13일의 금요일에 교통량이 995-2677만큼 더 적다

* p-value 계산할 때 양측검정해야 하지만, 결론 내릴 때는 더 많다 /적다 (방향성) 얘기할 수 있다  

 

  

11-2. 쌍체비교 

 

Paired data에 관한 추론

 

읽기와 쓰기  시험

- 200명의 고등학생들의 읽기와 쓰기 능력에 대한 시험 결과는 다음과 같다 

 

 

- 읽기와 쓰기 시험 점수는 서로 독립인가? 

 

Paired data의 분석

- Paired data를 각 쌍의 차이를 이용하여 일 표본 문제로 분석한다

- diff = read - write

- 차이의 분포는 다음과 같다 

 

 

1) 가설검정

- 귀무가설 : 평균적으로 개개인 고등학생의 쓰기와 읽기 점수의 차이는 없다

- 대립가설 : 평균적으로 개개인 고등학생의 쓰기와 읽기 점수의 차이가 있다. 즉 글쓰기와 읽기 능력은 별개이다.

 

T-검정

- diff의 표본평균 : -0.545

- 귀무가설에 따른 뮤 값 : 0

- 표본크기 n : 200

- 200명 학생의 표본표준편차 : 8.887

 

 

→ p-value가 크므로 귀무가설 기각 불가능

 

2) 신뢰구간

특별한 언급 없으면 95% 신뢰구간 사용

 

 

→ 신뢰구간에 0이 포함되므로 귀무가설 기각 불가능

 

 

예제 : 1루는 어떻게 돌아야 하나?

안타를 친 후 2루에 도달하기 위해서는 1루는 큰 각도로 돌아야 할까? 아니면 작은 각도로 돌아야 할까? 

큰 각도로 돌면 가속도가 붙고 커브에 유리함. 작은 각도로 돌면 거리가 짧음

 

 

총 22명의 학생

 

(작은 각도로 돌았을 때 걸린 시간) - (큰 각도로 돌았을 때 걸린 시간)

 

- 귀무가설 : 1루를 어떻게 도느냐는 2루에 도달하는 시간에 영향을 미치지 않는다

- 대립가설 : 1루를 어떻게 도느냐에 따라서 2루에 도달하는 시간은 달라진다

- diff = 작게 도는 각도의 기록 - 크게 도는 각도의 기록

 

(1) T-test

- 실제 실험에서는 1루를 크게 도는 경우 0.075초 빠른 것으로 나타났으며 표준편차는 0.088이었다

- 검정 통계량과 p-value는 다음과 같다 

 

 

→ 따라서 1루를 크게 도는 게 2루에 도달하는 시간을 단축할 수 있다 

 

- p-value를 구할 땐 양측검정을 하지만, 이는 p-value를 구하기 위함이고 결론을 내릴 땐 방향성을 제시할 수 있다

- p-value값이 작으므로 두 주루 방법에 "차이가 있음"을 알 수 있다 

- 그런데 표본평균이 0.075로 양수이므로 크게 도는 것이 더 유리함을 알 수 있다(시간이 더 적게 걸림)

 

(2) Permutation test

- 만약  2가지 주루 방법에 차이가 없다면 사람별로 크게 도는 주루 기록과 작게 도는 주루 기록을 바꾼다고 해도 그 결과는 비슷해야 한다

- 이 경우 총 가능한 표본의 개수는 2^22 = 4,194,304이다 (22명의 학생에 대해 기록 2개 바꾸기 or 바꾸지 않기)

- 이 모든 경우를 다 고려할 수도 있지만 일반적으로 적당히 큰 횟수로 표본을 뽑아서 sampling distribution을 구한다 

 

http://rossmanchance.com/ISIapplets.html

Applets for Introduction to Statistical Investigations

 

- 22명 중 랜덤으로 주루 방법 바꾼 후 평균 diff를 구하는 시행을 1000번 반복 

- 1000번의 permutation을 실시하여 sampling distribution을 뽑은 결과 다음과 같은 분포를 얻었다.  

 

 

- 관측된 차이인 0.075보다 extreme한 경우를 관측할 확률은 0.02이다 

- 사람별로 크게 도는 주루 기록과 작게 도는 주루 기록을 바꿔서 결과가 많이 달라짐. 따라서 2가지 주루 방법에 차이가 있다. 

- 그런데 표본평균이 0.075로 양수이므로 크게 도는 것이 더 유리함을 알 수 있다(시간이 더 적게 걸림)