12. 모평균에 관한 추론 II

SNUON 통계학

 

Inference for Numerical Data

1. 일 표본평균과 t-분포

2. Paired data에 관한 추론

3. 두 표본평균의 차이에 관한 추론

4. Power Analysis

5. ANOVA 

 

12-1. 두 표본의 평균 차이에 관한 추론 

 

예제 : 다이아몬드

- 다이아몬드의 무게는 캐럿으로 표기한다

- 1캐럿은 100point라고 한다면 0.99캐럿은 99점이다

- 사람의 눈으로 1캐럿과 0.99캐럿은 구별할 수 없지만, 1캐럿의 가격이 0.99캐럿의 가격보다 훨씬 비싸지 않을까?

- 이 경우 양측검정을 사용해야 할까? 아니면 단측검정을 사용해야 할까?

 

 

가설검정

- 귀무가설 : 0.99캐럿과 1캐럿 다이아몬드의 가격이 같다

- 대립가설 : 1캐럿이 0.99캐럿 다이아몬드보다 비싸다 (1캐럿이 0.99보다 쌀 가능성은 없다고 보고 단측검정)

 

CLT(중심극한정리)를 적용하기 위한 조건

- 각각의 표본이 30이상이다

- 각각의 표본의 분포가 skewed하지 않다

- 두 개의 그룹이 서로 독립이다

 

위의 조건을 만족하는 경우 귀무가설 하에서 

 

 

- 하지만 다이아몬드 예제에서 0.99캐럿은 23개뿐이다!

- 이 경우 test statistic은 (근사)자유도가 다음과 같은 t분포를 따른다 

 

 

- 위의 자유도는 일반적으로 정수가 아니다 

- 따라서 컴퓨터로 계산하지 못한다면, 아래 방법을 추천한다 

 

둘 중 작은 값을 자유도로 취해라

 

- 자유도가 작아야 안전함 (보수적인 방법)

 

 

 

-2.508이라는 값은 자유도에 따라 p-value가 달라진다

 

- 자유도는 근사식으로는 45.26, 둘 중 최솟값을 선택하는 간편한 방법을 사용하면 22가 나온다

- 자유도가 실제보다 큰 경우 p-value는 더 작아진다 

- 자유도가 실제보다 작은 경우 p-value는 더 커진다 

 

단측검정이라 2 곱하지 않아도 됨

 

- p-value가 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있다

- 1캐럿의 평균 가격이 0.99캐럿의 평균 가격보다 비싸다 (T값이 마이너스니까)

 

 

두 집단의 분산이 같은 경우

- 만약 두 모집단의 분산이 같은 경우 어떻게 될까?

- 이 경우는 다음과 같은 test statistic을 사용한다

 

 

- 여기서 sp는 다음과 같다

 

 

- 귀무가설하에서 검정통계량의 분포는 자유도가 ( n1 + n2 - 2 ) 인 t-분포를 따른다 

∵ (n1-1) + (n2-1) = (n1 + n2 -2)

 

만약 다이아몬드 예제에서 두 집단(0.99캐럿과 1캐럿의 가격)의 분산이 같다면 검정통계량은 다음과 같다.

 

 

- 자유도는 23 + 30 -2 = 51이며,  p-value는

 

- p-value가 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있다

 

 

정리 : 두 표본의 비교 

1) 두 집단의 표본의 크기가 각각 30이상일 경우 : CLT를 적용할 다른 조건을 확인한 후 test statistic이 정규분포를 따른다는 가설하에 가설검정을 한다

2) 두 집단의 표본의 크기가 작은 경우 (즉 최소 한 표본의 크기가 30미만인 경우)

- 두 모집단의 분산이 같은 경우 

- 두 모집단의 분산이 다른 경우 

 

- 분산의 크기가 같은지 여부를 F-검정을 통해 알 수 있다. 그러나 이 경우 표본의 크기가 작기 때문에 F-검정을 사용하면 검정력이 현저히 떨어진다. 따라서 선행연구 혹은 과학적 근거에 의해 분산이 같은지 여부를 가정한다

(일반적으로 분산이 같음을 증명하기 어려우므로 분산이 다르다고 가정하고 검정을 진행한다)

 

Permutation test 

- 가능한 Permutation test는?

귀무가설 : 0.99캐럿과 1캐럿 다이아몬드의 가격이 똑같다 

 

0.99캐럿, 23개 + 1캐럿, 30개 = 총 53개 

53개의 다이아몬드 중 임의로 23개를 뽑아 0.99캐럿의 가격표를 붙임. 나머지는 1캐럿의 가격표를 붙임 

이에 따른 히스토그램을 그려 우리가 관측한 값이 얼마나 extreme한지 보면 됨 

 

Tukey's Quick Test

- 두 집단 간의 차이가 통계적으로 유의미한지 확인하기 위해 우리는 2 sample t-test를 일반적으로 사용한다

- 하지만 컴퓨터나 계산기 등을 사용하지 않고 쉽게 두 집단의 차이 여부를 통계적으로 검증할 수 있을까?

- Tukey의 quick test는 이러한 경우를 염두에 두고 제안되었다

 

x = 높은 그룹에서 낮은 그룹의 최댓값보다 큰 숫자 + 낮은 그룹에서 높은 그룹의 최솟값보다 작은 숫자 (겹치지 않는 부분)

x > 7이면, 유의수준 α = 0.05에서 기각 

x > 10이면, 유의수준  α = 0.01에서 기각 

x > 13이면, 유의수준  α = 0.001에서 기각 

tie가 있다면 1/2로 간주한다

 

※ 주의사항

- 두 집단의 크기가 너무 차이가 나지 않아야 한다 (4:3 정도의 비율까지 가능)

- 각 집단의 크기가 30보다 작아야 한다 

 

예제 : 중고 카메라

만약 중고카메라를 친구로부터 산다면 모르는 사람에게서 구입할 때와 똑같은 가격으로 구입할까?

귀무가설 : 친구에게서 살 때랑 모르는 사람에게서 살 때랑 가격이 같다 

 

친구에게서 구입	모르는 사람에게서 구입
275	260
300	250
260	175
300	130
275	200
290	225
300	240
255

 

모르는 사람에게서 구입한 경우가 낮은 그룹, 친구에서 구입한 경우가 높은 그룹 

- 낮은 그룹의 최댓값은 260. 높은 그룹에서 260보다 큰 자료의 개수는 6개, 260과 같은 자료의 개수는 1개 (1/2)

- 높은 그룹의 최솟값은 255. 낮은 그룹에서 255보다 작은 자료의 개수는 6개 

따라서 x = 6.5 + 6 = 12.5 

p-value를 0.01과 0.001 사이로 간주할 수 있다 

 

 

12-2. 검정력 분석

 

* 검정력 증가 = 제 2종오류 감소 

 

예제 : 고혈압 치료약

- 제약회사에서 고혈압 치료약의 효능을 검증하기 위해 임상실험을 하려고 한다

- 고혈압 환자 200명을 피실험자로 구한 후 randomizatin을 통해서 실험군(신약 사용)과 대조군(기존의 고혈압 약 사용)으로 나눈다

- 두 집단 간의 평균 고혈압 차를 구한다

- 선행연구를 통해 고혈압 환자들의 혈압 수치의 표준편차는 12로 알려져 있다고 가정 

- n1 = n2 = 100

 

 

- 두 평균의 차이가 1.96 * SE = 1.96 * 1.70 = 3.332보다 크면 유의수준  α = 0.05에서 귀무가설을 기각한다 

(귀무가설 : 두 약의 효과에 차이가 없다)

 

검정통계량 = 두 집단 평균의 차이 ÷ SE 

P ( 검정통계량 > 1.96 ) = P ( 두 집단 평균의 차이 ÷ SE > 1.96 ) = P ( 두 집단 평균의 차이 > 1.96 * SE ) = P ( 두 집단 평균의 차이 > 3.332)

 

 

- 대립가설이 참이라면 위의 확률을 검정력(Power)으로 간주할 수 있다

 

검정력 계산시 두 집단 평균의 차이를 특정한 값으로 두어야 함

 

- 델타 = -3 이라 가정 : 신약이 고혈압을 3 정도 떨어뜨린다는 의미 

- 대립가설 하에 이런 결과를 관측할 확률이 42%이다 (=검정력이 42%)

- 일반적으로 검정력 70% 이상

- 표본크기를 늘리면 검정력이 높아진다 

 

n1 = n2 = n이고 델타= -3이라고 가정할 경우, 검정력이 0.8이 되기 위한 표본크기는 얼마인가?

 

 

- 따라서 검정력이 최소 80%가 되려면 표본크기는 251이상이어야 한다

- 만약 검정력을 증가하려면 (1) 표본크기를 크게 하거나, (2) 유의수준을 높이거나, (3) 표준편차를 줄여야 한다

* (2) 유의수준을 높이면 1종 오류가 많아짐