22. 2x2 분할표 II

SNUON 통계학

 

2x2 분할표

1. 역학설계연구 

2. McNemar test for paired data

3. Fisher's exact test

4. 심슨의 역설

 

22-1. McNemar 검정

 

2x2 분할표 

- 백신임상실험에 관한 지식 설문조사를 2번에 걸쳐서 실시함

- 처음 설문조사 후 6개월이 지난 후 동의서 절차를 거친 후에 두번째 설문조사를 실시

 

	6개월 이후 틀림	6개월 이후 맞힘	합계
처음에 틀림	251	178	429
처음에 맞힘	68	98	166
합계	319	276	595

 

- 첫번째 설문조사에서 오답율 : 429/595 = 0.72

- 두번째 설문조사에서 오답율 : 319/595 = 0.54 

 

McNemar 검정

- Matched-Case-Control : 사례군과 대조군을 성별/나이에 따라 쌍을 이루게 하는 역학 설계연구를 말한다 

 

1=맞음, 0=틀림

 

- 우리는 아래 귀무가설을 검정하고자 한다  →  H_0 : π_10 = π_01

- 이 경우 검정통계량(McNemar Test)은 비 대각원소의 값들이 서로 비슷한지 여부를 기반한다 

 

 

- McNemar 검정통계량 

 

 

- 귀무가설 하에서 자유도가 1인 카이제곱 분포를 따른다

- 이 경우 검정통계량의 값은 48.29이며 귀무가설을 기각한다. 즉 동의서 처리 결과가 백신임상실험에 대한 이해도를 변경시켰다는 것이 통계적으로 유의하다 (이해도를 높였다, 라며 방향성을 제시할 순 없음)

 

 

22-2. Fisher의 exact 검정

 

피셔의 정확검정

- 표본의 크기가 작을 경우 검정통계량의 분포가 카이제곱 분포를 따르지 않을 수 있다

- 구체적으로 기대도수가 5 이하인 칸의 수가 전체 칸 수의 20% 이상인 경우 카이제곱 검정대신 피셔의 정확검정(exact test)를 사용할 것을 추천한다

 

차 마시는 여인

- 근대 통계학의 아버지라 불리는 피셔가 연구소 여자 동료가 홍차를 우유에 부어 마셨을 때와 우유에 홍차를 부어 마셨을 때 맛의 차이가 나며, 본인이 그 차이를 안다고 주장하자 그 주장이 맞는지 검정하기 위해 다음과 같은 실험을 행했다

- 총 8개의 컵을 준비하여 4개의 컵에는 홍차를 먼저 컵에 붓고 그 다음에 우유를 붓는다. 그리고 나머지 4개의 컵에는 역순으로 우유와 홍차를 붓고 여자 동료에게 같은 순서로 홍차와 우유를 섞은 4개의 컵을 고르게 한다

- 피셔의 실험결과는 다음과 같이 정리할 수 있다

- 귀무가설은 여자 동료가 우유와 홍차 중 어느 걸 먼저 컵에 넣었는지에 대한 감별능력이 없다

- 만약 귀무가설이 참이라면 모든 칸에서의 기대도수는 2이므로(귀무가설 하에 확률은 1/2) 카이제곱 검정을 사용할 수 없다 (칸의 100%가 5 이하)

 

	추측_우유	추측_차	합계
실제_우유	3	1	4
실제_차	1	3	4
합계	4	4	8

 

- 피셔는 분할표에서 만약 행과 열의 합이 고정된다면 첫 번째 열과 첫 번째 행에 해당하는 칸에서의 기대 도수는 초기하 분포를 따른다는 데에  착안하여 관측 도수가 3 이상이 될 확률을 계산한 후 이를 p값으로 사용하였다

 

 

예제 : 소금 섭취량과 심장혈관 질환 (Case-Control-Study)

- 소금섭취량과 심장혈관 질환이 관련이 있을까?

	소금 많이	소금 적게	합계
심장 질환O	5	30	35
심장 질환X	2	23	25
합계	7	53	60

 

- 이 경우 OR=1.90이지만 카이제곱 검정의 경우 기대값이 5 이하인 칸이 전체 칸의 25% 이상이면 그 결과를 신뢰하기 힘들다

- 이러한 경우 Fisher's exact test를 사용한다 

 

피셔의 정확검정

- 열과 행의 합이 주어졌다고 가정한다면 이 경우 우리가 관측할 수 있는 분할표들은 다음과 같다

 

 

- 열과 행의 합이 주어졌다면, 우리가 값을 선택할 수 있는 칸은 하나뿐(나머지는 합에 의해 자동으로 정해짐). 그 값도 0-7까지만 가능 

- 초기하 분포를 사용한다면 각각의 분할표를 관측할 확률을 구할 수 있다

 

 

- 즉 주어진 자료나 그보다 더 극단적인 결과를 관측할 확률(p-value)는 0.252+0.105+0.017=0.374이다

- 첫 칸이 5거나 5보다 더 큰 경우(=더 극단적인 경우) 

- 따라서 귀무가설을 기각할 수 없다 

 

 

22-3. 심슨의 역설 

 

심슨의 역설 : 농구 슛 성공률

1) 3점슛 성공률 

 

	시도	성공	성공률
하승진	50	20	40%
양동근	54	22	41%

 

2) 2점슛 성공률

 

	시도	성공	성공률
하승진	64	31	48%
양동근	39	19	49%

 

- 2점슛, 3점슛 성공률 모두 양동근 선수가 앞선다 

- 그러나 이 둘을 합치면 전체 슛 성공률은 하승진이 앞선다

 

	시도	성공	성공률
하승진	50+64	20+31	45%
양동근	54+39	22+19	44%

 

 

- 3점슛과 2점슛을 던지는 비율이 다르기 때문에 심슨의 역설이 나타난다

- 하승진 선수가 전체에서 앞선 것은 성공률이 높은 2점슛을 더 많이 시도했기 때문이다

 

심슨의 역설

- 심슨의 역설은 관심이 있는 두 변주형 자료 모두에 영향을 주는 교란변수(confounder)에 기인한다

- 이 경우 교란변수의 범주별로 층화분석을 실시할 경우 두 범주형 자료의 관계를 보다 명확히 규명할 수 있다 

 

 

심슨의 역설 : 미세먼지

 

x축은 미세먼지 농도, y축은 사망률

 

위 그래프를 계절별로 나눔

 

- 계절별로 나누기 전엔 미세먼지가 많을수록 사망률이 낮아짐?!

- 그러나 계절별로 나누면 미세먼지가 많을수록 사망률이 높아진다

 

 

예제 : 버클리 대학원 입시 성차별

1970년대 초반 대학원 입시에 성차별이 있었다는 이유로 버클리 대학이 고소를 당했다. 아래는 버클리 대학의 1973년 6개 대학원의 입시결과이다

 

	남학생	여학생	합계
합격	1198	557	1755
불합격	1493	1278	2771
합계	2691	1835	3526

 

하지만 입시결과를 학과별로 나누어서 분석한 결과 대부분의 학과에서 오히려 여학생들의 합격률이 높다는 게 밝혀졌다. 즉, 전공이 교란변수였다.

 

Mosaic Plot

 

 

- 합격률이 높은 학과는 남학생이, 합격률이 낮은 학과는 여학생이 많았다