칸 아카데미로 딥러닝을 위한 수학 공부하기 | Null space and column space (1)

Linear Algebra > Vectors and Spaces > Null space and column space 부분을 정리한 것.

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Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy

 

행렬과 벡터의 곱셈

1) 내적으로 정의 : 행렬의 각 row를 전치(transpose)하여 벡터 x와 내적 

2) 선형결합으로 정의 : 행렬의 각 column(v1, v2,..)과 벡터 x의 각 값(x1,x2,..)의 선형결합 → x1v1 + x2v2 + ... + xnvn

 

행렬의 영공간(null space)

- 행렬 A의 영공간 = N(A) = { x ∈ R^n | Ax = 0 }  * x는 n차원의 벡터, A는 행렬 

- 영공간은 유효한 부분공간 (영벡터 포함, 덧셈에 닫혀 있음, 스칼라 곱셈에 닫혀 있음)

- N(A) = N(rref(A)) * rref(A) = A의 기약행 사디리꼴 행렬 

- 행렬의 column vector들이(v1, v2,...) 모두 선형독립이다  ↔(iff) Ax = 0 의 유일한 해가 x = 0 (영벡터) 이다 ↔(iff) 행렬의 영공간의 원소는 영벡터로 하나이다

 

행렬의 열공간(column space)

- 행렬 A의 열공간 = C(A) = { Ax | x ∈ R^n } = span(v1, v2, ...) = column vector들의 모든 가능한 선형결합 

- 열공간은 유효한 부분공간 (영벡터 포함, 덧셈에 닫혀 있음, 스칼라 곱셈에 닫혀 있음)

 

기저(basis) = 부분공간을 생성하는 벡터의 집합 & 선형독립 

* A의 열공간, C(A)의 기저 구하기 : rref(A)를 구한 뒤 피봇변수와 곱해지는 column 찾기. 이 칼럼들의 생성(span)이 열공간의 기저

 

열공간의 기저가 만드는 평면의 식 구하기 

1) [ 법선벡터 · 평면 위의 벡터 = 0 ] 이용하여 구하기 

- 법선벡터 = 평면 위의 두 벡터의 외적 

- 평면 위의 벡터 = [ 임의의 벡터 (x y z) ] - [ 열공간의 기저에 포함된 아무 벡터 ]

2) [ Ax = b ] 방정식 풀기 

- 벡터 b = [ x y z ] 로 놓고 rref 만들어 풀기 

 

A = { a1, a2, ... an } = 부분공간 V의 기저 

n(A) = 5 (A가 n개의 벡터를 가짐)

→ V를 생성하는 모든 집합이 적어도 n개의 원소를 가져야 함

 

차원(Dimension)

Dim(V) = V의 기저의 원소의 개수